Question

5．已知直線l的極坐標方程為$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=6$，圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=10cosθ\\ y=10sinθ\end{array}\right.（θ$為參數）．
（1）請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標方程；
（2）求直線l被圓截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）展開兩角差的正弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得到直線l的直角坐標方程，兩式平方作和消去θ得到圓的普通方程；
（2）求出圓心到直線的距離，利用弦心距、圓的半徑及弦長的關系求得答案．

解答 解：（1）由$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=6$，得$ρ（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ）=6$，
∴y-$\sqrt{3}x=12$，即$\sqrt{3}x-y+12=0$．
圓的方程為x²+y²=100．
（2）圓心（0，0）到直線$\sqrt{3}x-y+12=0$的距離d=$\frac{|12|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}=6$，y=10，
∴弦長l=$2\sqrt{100-36}=16$．

點評 本題考查參數方程化普通方程，考查了極坐標方程化直角坐標方程，考查了弦心距、圓的半徑及弦長的關系，是基礎題．