Question

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C₁：ρcos(θ+

π

4

)=2

2

與曲線C₂：

x=4t2 y=4t

（t∈R）交于A、B兩點(diǎn)．求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析：先將極坐標(biāo)方程化為普通方程，再將這兩個(gè)方程聯(lián)立，消去x，得y²-4y-16=0，再由韋達(dá)定理研究．

解答：證：曲線C₁的直角坐標(biāo)方程x-y=4，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程是拋物線y²=4x，（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將這兩個(gè)方程聯(lián)立，消去x，
得y²-4y-16=0?y₁y₂=-16，y₁+y₂=4，（6分）
∴x₁x₂+y₁y₂=（y₁+4）（y₂+4）+y₁y₂=2y₁y₂+4（y₁+y₂）+16=0．（8分）
∴

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題．