Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx其中常數(shù)a＞0
（1）當a＞2時，求函數(shù)f（x）在x∈（0，a）上的極大值和極小值；
（2）設定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x₀時，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”，當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出導數(shù)f^′（x）=0時的x的值，再判斷是否是極值點，若是即可求出極值；
（2）利用“類對稱點”的定義，證明

f(x)-g(x)

x-x0

＞0在（0，+∞）上恒成立?

f(x)-f(m)

x-m

-f′(m)＞0在（0，+∞）恒成立即可．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx（常數(shù)a＞2）可知：其定義域為（0，+∞）．
∴f′(x)=2x+

a

x

-(a+2)=

2x2-(a+2)x+a

x

=

2(x- a 2 )(x-1)

x

，
令f^′（x）=0，解得x=

a

2

或1，
∵a＞2，∴

a

2

＞1．
列表如圖：
由表格可知：當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，且f（1）=-a-1；當x=

a

2

時，函數(shù)f（x）取得極小值，且f(

a

2

)=alna-a(ln2+1)-

a2

4

．
（2）當a=4時，函數(shù)f（x）=x²-6x+4lnx存在“類對稱點”，為點P(

2

，2-6

2

+2ln2)．
當a=4時，f（x）=x²-6x+4lnx，∴f^′（x）=2x-6+

4

x

，
設切點P（m，f（m）），則切線的斜率為f^′（m）=2m-6+

4

m

，
則切線的方程為y-f（m）=f^′（m）（x-m），
由

f(x)-g(x)

x-x0

＞0在（0，+∞）上恒成立?

f(x)-f(m)

x-m

-f′(m)＞0在（0，+∞）恒成立．（*）
其中

f(x)-f(m)

x-m

為過點（x，f（x））、（m，f（m））的割線的斜率，而f^′（m）為過切點P（m，f（m））的切線的斜率．
要使（*）式恒成立，f^′（x）必取得最小值．
∵[f^′（x）]^′=2-

4

x2

=

2(x+ 2 )(x- 2 )

x2

，令f^″（x）=0，解得x=

2

．
由表格可知：當且僅當x=

2

時，f^′（x）取得極小值，也是最小值．
即當x=

2

時，

f(x)-g(x)

x-x0

＞0在（0，+∞）上恒成立．
故(

2

，2-6

2

+2ln2)是函數(shù)f（x）的一個“類對稱點”．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值的方法及正確理解“類對稱點”的意義是解題的關鍵．