Question

設(shè)（ax+2b）⁹與（bx+2a）⁸展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)相等（a＞0，b≠0）
（1）求

b3+3

a

的取值范圍；
（2）當(dāng)a=

3

時(shí)，求(bx+2a)8展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：利用（ax+2b）⁹與（bx+2a）⁸展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)相等，求出b與a的關(guān)系，
（1）通過(guò)基本不等式求出表達(dá)式的范圍即可．
（2）通過(guò)a求出b，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式最大項(xiàng)即可．

解答：解：（ax+2b）⁹展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)為：

C

6 9

a3•(2b)6=84×24a3b6．
（bx+2a）⁸展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)為：

C

5 8

b3(2a)5=56×25a5b3．
則：84×2⁴a³b⁶=56×2⁵a⁵b³，即b3=

1

3

a2．
（1）

b3+3

a

=

1 3 a2+3

a

=

a

3

+

3

a

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)取等號(hào)．
∴

b3+3

a

的取值范圍[2，+∞）．
（2）a=

3

時(shí)，b=1，（bx+2a）⁸展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)，
即：T₅=

C

4 8

(bx)4(2a)4=70×2⁴a⁴b⁴x⁴=10080x⁴．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的形狀，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．