(本小題滿分12)如圖①在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E,F(xiàn),G分別是線段PC、PD,BC的中點(diǎn),現(xiàn)將ΔPDC折起,使PD⊥平面ABCD(如圖②)

(1)求證AP∥平面EFG;

(2)求平面EFG與平面PDC所成角的大;

(3)求點(diǎn)A到平面EFG的距離。

 

【答案】

解法一:(Ⅰ)如圖. 以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA、DC、DP分別為與z軸建立空間直角坐標(biāo)系:                                    

    

     

設(shè)平面GEF的法向量,由法向量的定義得:

不妨設(shè) z=1,   則              

     ,點(diǎn)P 平面EFG

∴AP∥平面EFG   

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面GEF的法向量          ,

因平面EFD與坐標(biāo)平面PDC重合 ,則它的一個法向量為=(1,0,0)

設(shè)平面間的夾角為.    則       

故夾角的大小為45°。

(Ⅲ) ,  

解法二:(1)∵EF∥CD∥AB,EG∥PB,根據(jù)面面平行的判定定理

∴平面EFG∥平面PAB,又PA面PAB,∴AP∥平面EFG

(2)∵平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC

∴AD⊥平面PCD,而BC∥AD,∴BC⊥面EFD

過C作CR⊥EF交EF延長線于R點(diǎn)連GR,根據(jù)三垂線定理知

∠GRC即為二面角的平面角,∵GC=CR,∴∠GRC=45°,

故平面間的夾角大小為45°。   (3)同上

 

【解析】略

 

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(1)若大網(wǎng)箱的面積為108平方米,每個小網(wǎng)箱的長x,寬y設(shè)計為多少米時,才能使圍成的網(wǎng)箱中篩網(wǎng)總長度最。

(2)若大網(wǎng)箱的面積為160平方米,網(wǎng)衣的造價為112元/米,篩網(wǎng)的造價為96元/米,且大網(wǎng)箱的長與寬都不超過15米,則小網(wǎng)箱的長、寬為多少米時,可使總造價最低?

 

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((本小題滿分12分)

如圖所示,正方形和矩形所在的平面相互垂直,已知,.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求二面角的大小.

 

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(本小題滿分12分)

如圖,在三棱柱ADF—BCE中,側(cè)棱底面,底面是等腰直角三角形,且,M、G分別是AB、DF的中點(diǎn).

(1)求證GA∥平面FMC;

(2)求直線DM與平面ABEF所成角。

 

 

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.(本小題滿分12分)

如圖,在正方體中,E、F分別是中點(diǎn)。

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求證:;

 

(III)棱上是否存在點(diǎn)P使,若存在,確定點(diǎn)P位置;若不存在,說明理由。

 

 

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(本小題滿分12分)

如圖,在正三棱柱

(I)若,求點(diǎn)到平面的距離;

(Ⅱ)當(dāng)為何值時,二面角的正弦值為?

 

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