Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2mx+2-m．
（I）若不等式f（x）≥x-mx在R上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（II）記A={y|y=f（x），0≤x≤1}，且A⊆[0，+∞]，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

解：（I）由題意可得 x²-2mx+2-m≥x-mx在R上恒成立，即 x² -（m+1）x+2-m≥0恒成立，
∴△=（m+1）²-4（2-m）≤0，解得-7≤m≤1，
故實數(shù)m的取值范圍為[-7，1]．
（II）由題意可得，A={y|y=f（x），0≤x≤1}={y|y≥0 在[0，1]上恒成立}，
即x²-2mx+2-m≥0 在[0，1]上恒成立．
當m＜0時，y=f（x）=x²-2mx+2-m在[0，1]上的最小值為f（0）=2-m≥0，m≤2．
當 0≤m≤1時，y=f（x）=x²-2mx+2-m在[0，1]上的最小值為f（m）=2-m-m²≥0，解得-2≤m≤1，
故此時0≤m≤1．
當m＞1時，y=f（x）=x²-2mx+2-m在[0，1]上的最小值為f（1）=-3m+3≥0，m≤1．
故此時m的值不存在．
綜上，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]，
故實數(shù)m的最大值為1．
分析：（I）由題意可得 x²-2mx+2-m≥x-mx在R上恒成立，即 x² -（m+1）x+2-m≥0恒成立，由判別式小于或等于零求得實數(shù)m的取值范圍．
（II）由題意可得x²-2mx+2-m≥0 在[0，1]上恒成立，分m＜0、0≤m≤1、m＞1三種情況分別求出實數(shù)m的取值范圍，再去并集，即得所求．
點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．