【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的方程為 .

（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 （為參數(shù)），消去參數(shù)得的軌跡的直角坐標(biāo)方程為，化為極坐標(biāo)方程即可；

（Ⅱ）直線的方程為 ，得直線的直角坐標(biāo)方程為，利用圓心到直線的距離與的大小判斷直線與圓的位置關(guān)系是相離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為即得解.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得（為參數(shù)），

消去參數(shù)得的軌跡的直角坐標(biāo)方程為，

由互化公式可得點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ）由直線的極坐標(biāo)方程為，得，

所以直線的直角坐標(biāo)方程為，

曲線的普通方程為，它表示以為圓心，2為半徑的圓，

則圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，

故曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．

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