Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形，D為底邊AB的中點(diǎn)，E為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求證：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）若F為A₁B₁的中點(diǎn)，求過(guò)F，D，B，C點(diǎn)的球的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,球的體積和表面積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）設(shè)AB₁∩A₁B=O，連接EO，連接OD．由已知條件推導(dǎo)出四邊形ECOD為平行四邊形．由此能證明CD∥平面A₁BE．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出BB₁⊥平面ABC，CD⊥平面A₁ABB₁．從而得到EO⊥AB₁．由此能證明AB₁⊥平面A₁BE．
（Ⅲ）過(guò)F，D，B，C點(diǎn)的球的直徑是CB₁，由此能求出過(guò)F，D，B，C點(diǎn)的球的體積．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)AB₁∩A₁B=O，連接EO，連接OD．
因?yàn)镺為AB₁的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)D∥BB₁，且OD=

1

2

BB1．又E是CC₁中點(diǎn)，
所以EC∥BB₁，且EC=

1

2

BB₁，
所以 EC∥OD，且EC=OD．
所以，四邊形ECOD為平行四邊形．所以EO∥CD．
又CD不包含平面A₁BE，EO?平面A₁BE，
則CD∥平面A₁BE．…（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)槿�棱柱各�?cè)面都是正方形，
所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
所以BB₁⊥平面ABC．
因?yàn)镃D?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．…（8分）
（Ⅲ）解：由題意知過(guò)F，D，B，C點(diǎn)的球的直徑是CB₁，
∴球半徑R=

2

，
∴過(guò)F，D，B，C點(diǎn)的球的體積V=

4

3

π(

2

)3=

8 2

3

π．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．