Question

6．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，2a₁+1=a₂．
（Ⅰ） 求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 若數列{b_n}滿足a_n=log₂（b_n-n），求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出首項與公差，然后求解通項公式．
（2）求出b_n，然后求解數列的和．

解答 解：（1）由已知S₄=4S₂，2a₁+1=a₂．可得4a₁+6d=4a₁+4d，2a₁+1=a₁+d，
解得a₁=1，d=2，…..（4分）
則a_n=2n-1…..（6分）
（2）數列{b_n}滿足a_n=log₂（b_n-n），${b_n}={2^{a_n}}+n={2^{2n-1}}+n$，…（8分）
則${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}={2^1}+{2^3}+…+{2^{2n-1}}+1+2+…+n$
=$\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-4}+\frac{n（n+1）}{2}=\frac{2}{3}（{4^n}-1）+\frac{n（n+1）}{2}$…..（12分）

點評 本題考查數列的通項公式以及數列求和，數列的遞推關系式的應用，考查計算能力．