Question

（理）某大學(xué)舉辦“我愛記歌詞”校園歌手大賽，經(jīng)過層層選拔，有5人進(jìn)入決賽，決賽辦法如下：選手參加“千首電腦選歌”演唱測(cè)試，測(cè)試過關(guān)者即被授予“校園歌手”稱號(hào)，否則參加“百首電腦選歌”演唱測(cè)試．若“百首電腦選歌”測(cè)試過關(guān)也被授予“校園歌手”稱號(hào)，否則被徹底淘汰．若進(jìn)入決賽的5人“千首電腦選歌”演唱測(cè)試過關(guān)的概率是0.5，“百首電腦選歌”演唱測(cè)試合格的概率是0.8，而且每個(gè)人每輪測(cè)試是否合格是相互獨(dú)立的，試計(jì)算（結(jié)果精確到0.01）
（1）恰好有兩人參加“百首電腦選歌”演唱的概率；
（2）平均有幾人參加“百首電腦選歌”演唱（保留小數(shù)）；
（3）至少一人被最終淘汰的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，首先計(jì)算出每個(gè)參加比賽的選手參加測(cè)試的概率，分析可得五人中恰有兩人參加“百首電腦選歌”演唱測(cè)試即5次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有2次發(fā)生，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率公式，計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，參加“百首電腦選歌”演唱測(cè)試的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布B（5，0.5），由二項(xiàng)分布的期望公式，計(jì)算可得答案；
（3）記“至少一人被最終淘汰”為事件A，其對(duì)立事件

.

A

為“五個(gè)人全部通過”，計(jì)算某一個(gè)人不被淘汰的概率，由相互獨(dú)立事件的概率公式，計(jì)算可得P（

.

A

），由對(duì)立事件的概率公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，每個(gè)參加比賽的選手參加“百首電腦選歌”演唱測(cè)試的概率為1-0.5=0.5，且每人是否參加相互獨(dú)立，
則五人中恰有兩人參加“百首電腦選歌”演唱測(cè)試即5次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有2次發(fā)生，
其概率P₁=C₅²（1-0.5）²×0.5³=

5

16

；
（2）根據(jù)題意，參加“百首電腦選歌”演唱測(cè)試的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布B（5，0.5），
即X的期望為EX=5×0.5=2.5，
即平均有2.5人參加“百首電腦選歌”演唱；
（3）記“至少一人被最終淘汰”為事件A，其對(duì)立事件

.

A

為“五個(gè)人全部通過”，
某人最終被淘汰的概率是（1-0.5）（1-0.8）=0.1，則其不被淘汰的概率為1-0.1=0.9，
P（

.

A

）=0.9⁵，
P（A）=1-0.9⁵≈0.41．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算，關(guān)鍵是分析事件之間的相互關(guān)系，選擇對(duì)應(yīng)的公式．