Question

求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

證法一：對(duì)于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，

令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.

解方程組x-3y-11=0,x+4y+10=0_{得兩直線的交點(diǎn)為(2，－3)．}

將點(diǎn)(2，－3)代入已知直線方程左邊，得

(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.

這表明不論m取什么實(shí)數(shù)，所給直線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2，－3)．

證法二：將已知方程以m為未知數(shù)，整理為(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.

因?yàn)?i>m可以取任意實(shí)數(shù)，所以有2x+y-1=0,-x+3y+11=0_{解得x=2,y=-3}

所以不論m取什么實(shí)數(shù)所給的直線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2，－3)．

[點(diǎn)評(píng)]　(1)分別令參數(shù)取兩個(gè)特殊值得方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入原方程滿足，則此點(diǎn)為定點(diǎn)．

(2)直線過(guò)定點(diǎn)，即與參數(shù)無(wú)關(guān)，則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0，從而求出定點(diǎn)．