Question

設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最高點D的坐標(biāo)為（

π

8

，2），由最高點D運動到相鄰最低點時，函數(shù)圖形與x的交點的坐標(biāo)為（

3π

8

，0）；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時相應(yīng)的自變量x的值．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由三角函數(shù)解析式可知函數(shù)的平衡位置在x軸，所以最高點的縱坐標(biāo)為A=2，又由于三角函數(shù)最高點與相鄰的和x軸的交點為周期的四分之一，即

T

4

=

3π

8

-

π

8

，借此求出周期后可求出ω的值，然后將點（

π

8

，2）代入函數(shù)解析式并結(jié)合|φ|＜

π

2

可求出φ的值．
（2）由題中x的范圍x∈[-

π

4

，

π

4

]可求出（1）中解析式里2x+

π

4

的范圍，然后結(jié)合正弦函數(shù)y=sinx相應(yīng)區(qū)間上的圖象可以確定當(dāng)2x+

π

4

=-

π

4

和2x+

π

4

=

π

2

時函數(shù)分別有最小值與最大值，并同時解出相應(yīng)x的取值即可．
（3）由于函數(shù)圖象左右平移改變的是橫坐標(biāo)，為此將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位后應(yīng)用函數(shù)解析式中的自變量x-

π

4

，即y=g（x）=2sin[2（x-

π

4

）+

π

4

]=2sin（2x-

π

2

），由于求的是函數(shù)g（x）的減區(qū)間，故用2x-

π

4

替換正弦函數(shù)的減區(qū)間即由2kπ+

π

2

≤2x-

π

2

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z解出x后就是所求的減區(qū)間．

解答：解：（1）∵由最高點D（

π

8

，2）運動到相鄰最低點時，函數(shù)圖形與x軸的交點為（

3π

8

，0），所以周期的四分之一即

T

4

=

3π

8

-

π

8

=

π

4

，∴T=π，又T=

2π

ω

π，∴ω=2，因為函數(shù)經(jīng)過點D的坐標(biāo)為（

π

8

，2），代入函數(shù)解析式得2sin（2×

π

8

+φ）=2，
所以2×

π

8

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，即φ=zkπ+

π

4

，k∈Z，又|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

4

，
∴函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

4

）
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

4

），當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]，2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
所以2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

時；函數(shù)f（x）有最小值-

2

2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時；函數(shù)f（x）有最大值2
（3）由題意g（x）=f（x-

π

4

）=2sin[2（x-

π

4

）+

π

4

]，
∴g（x）=2sin（2x-

π

4

）因為正弦函數(shù)y=sinx的減區(qū)間是[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z
所以有2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z，
故函數(shù)g（x）的減區(qū)間為[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z，

點評：本題主要考查了復(fù)合角三角函數(shù)的解析式，最值以及圖象變換和單調(diào)區(qū)間的求法等問題，屬于復(fù)合角三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合性命題．