Question

18．已知點(diǎn)A（2，0）是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右頂點(diǎn)，且橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．過(guò)點(diǎn)M（-3，0）作直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程，并求出直線l的斜率的取值范圍；
（2）橢圓C的長(zhǎng)軸上是否存在定點(diǎn)N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，長(zhǎng)軸右端點(diǎn)為A，求出幾何量a，b，c，即可求橢Γ的方程；設(shè)直線l的方程為：y=k（x+3），聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)N（n，0），
使得∠PNM=∠QNA恒成立，即k_PN+k_QN=0恒成立．運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，
解得$c=\sqrt{3}，b=1$，
則橢圓C得方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
設(shè)直線l的方程為：y=k（x+3），
則聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（{x+3}）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$，
得（1+4k²）x²+24k²x+36k²-4=0，
由△＞0，解得$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}＜k＜\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)N（n，0），
使得∠PNM=∠QNA恒成立，即k_PN+k_QN=0恒成立．
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由（1）知${x_1}+{x_2}=\frac{{-24{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{36{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
$由{k_{PN}}+{k_{QN}}=\frac{y_1}{{{x_1}-n}}+\frac{y_2}{{{x_2}-n}}=\frac{{k（{{x_1}+3}）}}{{{x_1}-n}}+\frac{{k（{{x_2}+3}）}}{{{x_2}-n}}$
=$\frac{{k[{2{x_1}{x_2}+（{3-n}）（{{x_1}+{x_2}}）-6n}]}}{{（{{x_1}-n}）（{{x_2}-n}）}}$
=$\frac{{k（{-6n-8}）}}{{（{{x_1}-n}）（{{x_2}-n}）（{1+4{k^2}}）}}=0$，得$n=-\frac{4}{3}$，
故存在定點(diǎn)$N（{-\frac{4}{3}，0}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．