Question

已知函數(shù)f(x)=

2

x

+alnx-2(a＞0)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）直線y=x+2的斜率為1，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
因為f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，所以，f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，所以，a=1．
所以，f(x)=

2

x

+lnx-2，f′(x)=

x-2

x2

． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，2）．
（Ⅱ）  f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由f'（x）＞0解得 x＞

2

a

； 由f'（x）＜0解得 0＜x＜

2

a

．
所以，f（x）在區(qū)間(

2

a

，+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0，

2

a

)上單調(diào)遞減．
所以，當x=

2

a

時，函數(shù)f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)．因為對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以，f(

2

a

)＞2(a-1)即可． 則

2

2 a

+aln

2

a

-2＞2(a-1)． 由aln

2

a

＞a解得 0＜a＜

2

e

．
所以，a的取值范圍是  (0，

2

e

)．
（Ⅲ） 依題得 g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，則 g′(x)=

x2+x-2

x2

．
由g'（x）＞0解得  x＞1；   由g'（x）＜0解得  0＜x＜1．
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)．
又因為函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，
解得 1＜b≤

2

e

+e-1．   所以，b的取值范圍是(1，

2

e

+e-1]．