Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-m（x+1）ln（x+1），（x＞-1，m≥0）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，若直線y=t與函數(shù)f（x）在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)a＞b＞0時(shí)，（1+a）^b＜（1+b）^a．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解．
（2）由（1）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，由題意直線y=t與函數(shù)f（x）在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于方程f（x）=t在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，從而求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）只需證bln（1+a）＜aln（1+b），只需證：，設(shè)則利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明．
解答：解：（1）f'（x）=1-mln（x+1）-m
=1 ①m=0時(shí)，f'（x）=1＞0，
∴f（x）在定義域（-1，+∞）是增函數(shù)（2分）
=2 ②m＞0時(shí)，令f'（x）＞0得mln（x+1）＜1-m，∴
∴f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（4分）
（2）直線y=t與函數(shù)f（x）在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于方程f（x）=t在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解（5分）
由（I）知，f（x）在上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減．
又，且（7分）
∴當(dāng)時(shí)，方程f（x）=t有兩個(gè)不同解，
即直線y=t與函數(shù)f（x）在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（8分）
（3）要證：（1+a）^b＜（1+b）^a
只需證bln（1+a）＜aln（1+b），只需證：（10分）
設(shè)則．（12分）
由（I）知x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴x-（1+x）ln（1+x）＜0即g（x）是減函數(shù)，而a＞b
∴g（a）＜g（b），故原不等式成立（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，一般出題者喜歡考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問(wèn)題的能力，要出學(xué)生會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無(wú)限的思想來(lái)解決問(wèn)題．