Question

已知函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+1+4
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0有兩個(gè)大于0的實(shí)根，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)t=2^x＞0，則y=g（t）=t²+2at+4，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（t）（t＞0）的值域即可；
（2）由x＞0得t＞1，方程f（x）=0有兩個(gè)大于0的實(shí)根?方程g（t）=t²+2at+4=0有兩個(gè)大于1的實(shí)根，求出即可；
（3）由x∈[1，2]得t∈[2，4]，而g（t）=（t+a）²+4-a²，因此需要對(duì)-a與2、4的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論即可．

解答：解：（1）設(shè)t=2^x＞0，則y=g（t）=t²+2at+4，
當(dāng)a=1時(shí)，y=t²+2t+4=（t+1）²+3，對(duì)稱軸為t=-1，開(kāi)口向上．
∴g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t）＞g（0）=4．
∴函數(shù)f（x）值域?yàn)椋?，+∞）．
（2）由x＞0得t＞1．
∴方程f（x）=0有兩個(gè)大于0的實(shí)根等價(jià)于方程g（t）=t²+2at+4=0有兩個(gè)大于1的實(shí)根，
則需  

△=4a2-16≥0 - 2a 2 ＞1 g(1)=5+2a＞0

解得

a≥2或a≤-2 a＜-1 a＞- 5 2

，
∴-

5

2

＜a≤-2．
（3）由x∈[1，2]得t∈[2，4]，g（t）=（t+a）²+4-a²．
①當(dāng)-a≥4，即a≤-4時(shí)，g（t）在[2，4]上單調(diào)遞減，
∴g（t）_min=g（4）=20+8a；
②當(dāng)2＜-a＜4，-4＜a＜-2時(shí)，g(t)min=g(-a)=4-a2；
③當(dāng)-a≤2即a≥-2時(shí)，g（t）在[2，4]上單調(diào)遞增，
∴g（t）_min=g（2）=8+4a．

點(diǎn)評(píng)：利用換元法和對(duì)所給的區(qū)間與二次函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系分類討論其單調(diào)性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．