Question

已知平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=1，

b

與

a

-

b

的夾角是120°，則

b

²-(

a

•

b

)2的最大值是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角,平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：由題意可得

b

²-(

a

•

b

)2=

b

2•sin²θ．設

OA

=

a

，

OB

=

b

，則

BA

=

.

a

-

b

，由題意可得∠OBA=60°，由正弦定理求得

b

2=

4

3

sin²（120°-θ），把要求的式子化為

4

3

[

1

2

sin(2θ-

π

6

)+

1

4

]2，再利用正弦函數(shù)的值域，求得它的最大值．

解答： 解：設向量

a

與

b

的夾角為θ，則由題意可得

a

•

b

=1×|

b

|×cosθ=|

b

|×cosθ．
則

b

²-(

a

•

b

)2=

b

²-

b

2cos²θ=

b

2（1-cos²θ）=

b

2•sin²θ．
設

OA

=

a

，

OB

=

b

，則

BA

=

.

a

-

b

，由題意可得∠OBA=60°，
∠AOB=θ，如圖所示：
△OAB中，由正弦定理可得

1

sin60°

=

| b |

sin(120°-θ)

，
∴

b

2=

4

3

sin²（120°-θ），
∴要求的式子即

b

2•sin²θ=

4

3

sin²（120°-θ）•sin²θ
=

4

3

[

3

2

sinθcosθ+

1

2

 sinθsinθ]2=

4

3

 [

3

4

sin2θ-

1

4

cos2θ+

1

4

]2 
=

4

3

[

1

2

sin(2θ-

π

6

)+

1

4

]2≤

4

3

×(

1

2

+

1

4

)2=

3

4

，
故答案為：

3

4

．

點評：本題主要考查用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角，正弦函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于基礎題．