Question

已知：f（x）=x²-x+m（m∈R）且f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，a≠1
（1）求：f（log₂x）的最小值及對應的x值；（2）求：不等式f（log₂x）＞f（1）的解．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x）=x²-x+m（m∈R）且f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，a≠1，我們易求出滿足條件的a，m值，進而得到f（log₂x）解析式，結合復合函數、指數函數、二次函數的性質，即可求出f（log₂x）的最小值及對應的x值；
（2）由（1）的中f（log₂x）解析式，我們易將f（log₂x）＞f（1）化為：log₂²x-log₂x+2＞2，解對數不等式，即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（log₂a）=m，
∴f（log₂a）=log₂²a-log₂a+m=m
∴l(xiāng)og₂a=1或log₂a=0，即a=2或a=1（舍）
∵a=2，∴f（a）=f（2）=2+m
∴l(xiāng)og₂f（a）=log₂（2+m）=2，
∴m=2
∴f（x）=x²-x+2
∴f（log₂x）=log₂²x-log₂x+2
∴當log₂x=

1

2

，即x=

2

時，f（log₂x）取最小值

7

4

（2）由（1）知：f（log₂x）＞f（1）即為：log₂²x-log₂x+2＞2
則有l(wèi)og₂x＞1或log₂x＜0，
∴x＞2或0＜x＜1

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其求法，對數函數的單調性與特殊點，對于此類問題，將log₂x看成一個整體，利用二次函數的性質進行解答是關鍵．