Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acosB=2bcosA（Ⅰ）求證：

a2-b2

c2

=

1

3

；（Ⅱ）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，且最大邊的邊長為

17

，求最小邊的邊長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形的三邊，利用余弦定理表示出cosB和cosA，代入已知的等式中，化簡即可得證；
（Ⅱ）利用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡已知等式左邊的分子，并利用完全平方公式變形，分母利用平方差公式變形，約分后整理得到關(guān)于sinB和cosB的關(guān)系，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tanB的值，利用正弦定理化簡acosB=2bcosA，等式左右兩邊同時除以cosAcosB后，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后得到tanA=2tanB，由tanB的值求出tanA的值，然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan（A+B），將tanA和tanB的值代入求出tan（A+B）的值，利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式變形求出tanC的值，根據(jù)tanA，tanB及tanC的值都大于0，得到此三角形為銳角三角形，根據(jù)正切函數(shù)為增函數(shù)得到A為最大角，C為最小角，進而由tanA及tanC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA和sinC的值，由最長邊a，sinA及sinC的值，利用正弦定理即可求出最小邊c的值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
代入acosB=2bcosA中得：a•

a2+c2-b2

2ac

=2b•

b2+c2-a2

2bc

，
整理得：a²+c²-b²=2b²+2c²-2a²，即3a²-3b²=c²，
∴

a2-b2

c2

=

1

3

；
（Ⅱ）∵

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，
∴

(cosB+sinB)2

(cosB+sinB)(cosB-sinB)

=

cosB+sinB

cosB-sinB

=-3，
整理得：cosB+sinB=-3cosB+3sinB，
即：tanB=2，
由正弦定理化簡acosB=2bcosA得：
sinAcosB=2sinBcosA，
可得：tanA=2tanB=4，
則tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

6

7

，
又tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，
∴tanC=

6

7

，
∵tanA＞tanB＞tanC＞0，且A，B及C為三角形的內(nèi)角，
可得

π

2

＞A＞B＞C＞0，
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 1 1+tan2A

=

4 17

17

，
sinC=

1-cos2C

=

1- 1 1+tan2C

=

6 85

85

，
又a=

17

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=

3 85

10

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正切函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正切函數(shù)的增減性，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．