Question

4．函數(shù)f（x）=$\sqrt{2sin（2x-\frac{π}{3}）-1}$+lg（25-x²）定義域為（-5，-$\frac{17π}{12}$]∪[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{5π}{12}$]∪[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]∪[$\frac{5π}{4}$，$\frac{19π}{12}$]．

Answer 1

分析 要使函數(shù)有意義，只需滿足$\left\{\begin{array}{l}{2sin（2x-\frac{π}{3}）-1≥0}\\{25-x^2＞0}\end{array}\right.$，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解不等式．

解答 解：要使函數(shù)f（x）=$\sqrt{2sin（2x-\frac{π}{3}）-1}$+lg（25-x²）有意義，
則$\left\{\begin{array}{l}{2sin（2x-\frac{π}{3}）-1≥0}\\{25-x^2＞0}\end{array}\right.$，
由不等式25-x²＞0解得x∈（-5，5），---------①
由不等式2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1≥0解得，sin（2x-$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，
所以，2x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z），
解得，x∈[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，-------------②
綜合①②，對k討論如下：
當(dāng)k=0時，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]；
當(dāng)k=1時，x∈[$\frac{5π}{4}$，$\frac{19π}{12}$]；（$\frac{19π}{12}$≈4.97＜5）
當(dāng)k=-1時，x∈[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{5π}{12}$]；
當(dāng)k=-2時，x∈（-5，-$\frac{17π}{12}$]；
因此，原函數(shù)的定義域為：（-5，-$\frac{17π}{12}$]∪[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{5π}{12}$]∪[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]∪[$\frac{5π}{4}$，$\frac{19π}{12}$]．

點評 本題主要考查了函數(shù)定義域的解法，涉及對數(shù)函數(shù)的定義域和三角不等式的解法，屬于中檔題．