Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=a+2（a為常數(shù)），S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n是na_n與na的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求a₁，a₃并歸納出a_n（不用證明）；
（Ⅱ）若b_n=3ⁿ且a=2，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）a₁=a，a₃=a+4，解：（1）由已知得 ，
當(dāng)n=1時(shí)，
S₁=a₁則2a₁=a₁+a，
得a₁=a．
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=a₁+a₂+a₃
則2（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a）
∴a₃=a+4
由此可以歸納得：a_n=a+2（n-1）
（2）由（Ⅱ）可知a_n=a+2（n-1）=2n，b_n=3ⁿ；a_n•b_n=2n3ⁿ；
T_n=2•3+4•3²+8•3³+…+（2n-2）•3^n-1+2n•3ⁿ．①
2T_n=2•2²+4•2³+…+4（n-1）•2ⁿ+4n•3ⁿ⁺¹．②
②-①得 ，
所以數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為
分析：（1）由S_n是na_n與na的等差中項(xiàng)．我們可能得到S_n、na_n與na的關(guān)系式，從n=1依次代入整數(shù)值，再結(jié)合a₂=a+2（a為常數(shù)），不難給出a₁，a₃；
（2）通過（1）可知a_n的表達(dá)式，若b_n=3ⁿ且a=2，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n•b_n}的通項(xiàng)是等差和等比的對應(yīng)項(xiàng)相乘而得，因此可以用錯(cuò)位相減法來求出T_n前n項(xiàng)和的表達(dá)式，
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)列的求和以及歸納推理的常用法，屬于中檔題．在歸納中要注意項(xiàng)和序號之間的對應(yīng)關(guān)系，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和時(shí)要看準(zhǔn)項(xiàng)的正負(fù)，不要把符號弄錯(cuò)．