Question

對于數(shù)列{u_n}若存在常數(shù)M＞0，對任意的n∈N⁺，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M則稱數(shù)列{u_n}為B-數(shù)列。
（1）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{x_n}的前n項和，給出下列兩組判斷：
A組：①數(shù)列{x_n}是B-數(shù)列；②數(shù)列{x_n}不是B-數(shù)列
B組：③數(shù)列{S_n}是B-數(shù)列；④數(shù)列{S_n}不是B-數(shù)列
請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；
（3）若數(shù)列{a_n}是B-數(shù)列，證明：數(shù)列{a_n²}也是B-數(shù)列。

Answer 1

解：（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為
則
于是
|-|+|-|+…+|-|
=
=3×＜3
所以首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。
（2）命題1：若數(shù)列{}是B-數(shù)列，則數(shù)列{S_n}是B-數(shù)列
此命題為假命題
事實上設(shè)=1，n∈N，
易知數(shù)列{}是B-數(shù)列，但S_n=n，
|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n
由n的任意性知，數(shù)列{S_n}不是B-數(shù)列。
命題2：若數(shù)列{S_n}是B-數(shù)列，則數(shù)列{}是B-數(shù)列。
此命題為真命題。
事實上，因為數(shù)列{S_n}是B-數(shù)列，
所以存在正數(shù)M，對任意的n∈N，
有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M
即
于是

所以數(shù)列是數(shù)列。
（3）數(shù)列是數(shù)列，則存在正數(shù)M，對任意的有

因為
 
設(shè)，則有

因此
故數(shù)列是數(shù)列。