若向量a、b、c滿足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4.則a·b+b·c+a·c=________
思路解析:本題可以利用數(shù)量積公式兩邊平方求解;也可由已知條件,先得出三個(gè)向量之間的兩兩夾角,再用數(shù)量積公式. 方法一:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0, ∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26,∴a·b+b·c+a·c=-13. 方法二:根據(jù)已知條件可知|c|=|a|+|b|,c=-a-b,所以a與b同向,c與a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13. |
方法一是將“(a+b)2=a2+2a·b+b2”推廣到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c予以解答. |
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