Question

19．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線的對稱軸x=1上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=1上的一動點，求使∠PCB=90°的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的表達式，列出方程組，考查即可求出拋物線的解析式；
（2）先求出拋物線和x軸交點的坐標(biāo)，求出直線的解析式，從而求出M點的坐標(biāo)；
（3）法一：先求出直線BC的解析式，進而求出PC的解析式，從而求出P點的坐標(biāo)，法二：根據(jù)勾股定理求出即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則有：$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ c=-3\\-\frac{2a}=1\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）令x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以B點坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=-3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-3\end{array}\right.$，
所以直線解析式是y=x-3；
當(dāng)x=1時，y=-2，所以M點的坐標(biāo)為（1，-2）．
（3）方法一：要使∠PBC=90°，
則直線PC過點C，且與BC垂直，
又直線BC的解析式為y=x-3，
所以直線PC的解析式為y=-x-3，當(dāng)x=1時，y=-4，
所以P點坐標(biāo)為（1，-4）．
方法二：設(shè)P點坐標(biāo)為（1，y），
則PC²=1²+（-3-y）²，BC²=3²+3²；PB²=2²+y²
由∠PBC=90°可知△PBC是直角三角形，且PB為斜邊，
則有PC²+BC²=PB²．
所以：[1²+（-3-y）²]+[3²+3²]=2²+y²；解得y=-4，
所以P點坐標(biāo)為（1，-4）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查求函數(shù)的解析式問題，是一道中檔題．