已知A、B是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左、右頂點(diǎn)，橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)C、D和x軸上一點(diǎn)P，滿足
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC
．
（1）設(shè)△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S1、S2、S3、S4，求證：S1S3=S2S4；
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，求x0的取值范圍．
（1）證明：∵
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC
，∴
AP
=
1
3
AD
+(1-
1
3
)
AC
，
即
AP
-
AC
=
1
3
（
AD
-
AC
），
∴
CP
=
1
3
CD
，
∴C、D、P三點(diǎn)共線，且C、D在P點(diǎn)的兩側(cè)，
∵△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S1、S2、S3、S4，
∴
S1
S2
=
|
CP
|
|
PD
|
=
S4
S3
，∴S1S3=S2S4．
（2）由（Ⅰ）知，C、D、P三點(diǎn)共線，且C、D在P點(diǎn)的兩側(cè)，且C、D異于A、B的兩點(diǎn)，
∴-2＜x0＜2，且直線CD不平行于x軸，
設(shè)直線CD的方程為：x=my+x0
由
x=my+x0
x2
4
+
y2
3
=1
，得：（3m2+4）y2+6mx0y+3x02-12=0，
當(dāng)-2＜x0＜2時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），
∴y1+y2=-
6mx0
3m2+4
，y1y2=
3x02-12
3m2+4
，
又
CP
=
1
3
CD
，∴y2=-2y1，
聯(lián)立三式，消去y1、y2得：-
72m2x02
(3m2+4)2
=
3x02-12
3m2+4
，
化簡(jiǎn)得：（27x02-12）m2=4（4-x02），
∵-2＜x0＜2，m2＞0，∴27x02-12＞0，
所以x0＞
2
3
或x0＜-
2
3
，
綜上知x0的取值范圍是（-2，-
2
3
）∪（
2
3
，2）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)F1、F2為橢圓
x2
9
+
y2
4
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|＞|PF2|，則
|PF1|
|PF2|
的值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，2），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
（2）設(shè)直線l：x+y+3=0，求曲線C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)（0，4），離心率為
3
5

（1）求C的方程；
（2）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為
4
5
的直線被C所截線段的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知p：方程
x2
k-4
+
y2
k-6
=1表示雙曲線，q：過點(diǎn)M（2，1）的直線與橢圓
x2
5
+
y2
k
=1恒有公共點(diǎn)，若p∧q為真命題，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
4
+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，圓x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點(diǎn)D，連結(jié)DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（Ⅱ）設(shè)直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=2k2，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點(diǎn)F（1，0），C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線l與拋物線C2分別相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直線l的方程；
（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點(diǎn)，求橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過一定點(diǎn)；
②試問：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請(qǐng)求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，右焦點(diǎn)為（2
2
，0），斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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同步練習(xí)冊(cè)答案