已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求圓C的方程；
（2）若
OP
•
OQ
=-2，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）過(guò)點(diǎn)（0，4）作動(dòng)直線m交圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．試問(wèn)：在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0）？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圓C的方程．
（2）由
OP
•
OQ
=2×2×cos＜
OP
，
OQ
＞=-2，得∠POQ=120°，圓心C到直線l：kx-y+1=0的距離d=1，由此能求出k=0．
（3）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，圓C也是滿(mǎn)足題意的圓；當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y=kx+4，由
x2+y2=4
y=kx+4
，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出在以EF為直徑的所有圓中，存在圓P：5x2+5y2-16x-8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0）．
解答： 解：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．
因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（0，2），
所以|AC|=|BC|=r，
即
(a+2)2+a2
=r
a2+(a-2)2
=r
，
解得a=0，r=2，
所以圓C的方程是x2+y2=4．…（3分）
（2）因?yàn)?span id="4ykzibj" class="MathJye">
OP
•
OQ
=2×2×cos＜
OP
，
OQ
＞=-2，
且
OP
與
OQ
的夾角為∠POQ，
所以cos∠POQ=-
1
2
，∠POQ=120°，
所以圓心C到直線l：kx-y+1=0的距離d=1，
又d=
1
k2+1
，所以k=0．…（7分）
（3）（�。┊�(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，
直線m經(jīng)過(guò)圓C的圓心C，
此時(shí)直線m與圓C的交點(diǎn)為E（0，2），F(xiàn)（0，-2），
EF即為圓C的直徑，而點(diǎn)M（2，0）在圓C上，
即圓C也是滿(mǎn)足題意的圓．…（8分）
（ⅱ）當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y=kx+4，
由
x2+y2=4
y=kx+4
，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，
由△=64k2-48（1+k2）＞0，得k＞
3
或k＜-
3
．
設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），
則有
x1+x2=-
8k
1+k2
x1x2=
12
1+k2
①…（9分）
由①得y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=
16-4k2
1+k2
，②y1+y2=kx1+4+kx2+4=k(x1+x2)+8=
8
1+k2
，③
若存在以EF為直徑的圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0），則ME⊥MF，
所以
ME
•
MF
=0，
因此（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，
即x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0，…（10分）
則
12
1+k2
+
16k
1+k2
+4+
16-4k2
1+k2
=0，
所以16k+32=0，k=-2，滿(mǎn)足題意．…（12分）
此時(shí)以EF為直徑的圓的方程為x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，
即x2+y2-
16
5
x-
8
5
y+
12
5
=0，
亦即5x2+5y2-16x-8y+12=0．…（13分）
綜上，在以EF為直徑的所有圓中，
存在圓P：5x2+5y2-16x-8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0）． …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，考查實(shí)數(shù)k的值的求法，考查在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0）的判斷與求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=
sin
πx
2
，x≤0
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
，則f（2）=
 
；f（2014）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=axekx-1，g（x）=lnx+kx．
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k≠1，f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（2）=0，則不等式xf（x）＞0的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在四面體PABC中，有下列命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)（　　）
①若PABC為正三棱錐，則相鄰兩側(cè)面所成二面角的取值范圍是（
π
3
，π）；
②若PA、PB、PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則
1
h2
=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
；
③若PABC為正四面體，點(diǎn)E在棱PA上，點(diǎn)F在棱BC上，使得
PE
EA
=
BF
FC
=λ（λ＞0），f（λ）=αλ+β，αλ與βλ分別表示EF與AC、PB所成的角，則f（λ）是定值；
④若它的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，且滿(mǎn)足
PA
•
PB
=0，
.
PB
•
PC
=0，
PC
•
PA
=0，則三棱錐P-ABC的側(cè)面積可以等于3．
A、4B、3C、2D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C：
x2
4
+
y2
9
=1，直線l：
x=2+t
y=2-2t
（t為參數(shù)）
（1）寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；
（2）過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)平行四邊形ABCD，已知點(diǎn)A為（-1，-2），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C為（4，3）．試用向量的相關(guān)知識(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集為R，集合A=﹛x|x2-x-2≥0﹜，則CRA　　）
A、﹛x|x＜1，或x＞2﹜
B、﹛x|x＜-1，或x≥2﹜
C、﹛x|-1＜x＜2﹜
D、﹛x|-1≤x≤2﹜

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，且|AB|=4，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是（　　）
A、
x2
9
+
y2
4
=1
B、x2+y2=4
C、x2-y2=4
D、
y2
25
+
x2
9
=1

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