Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（3）當x∈（0，e]時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，根據函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)可得到其導函數(shù)在[1，2]上小于等于0應該恒成立，再結合二次函數(shù)的性質可求得a的范圍．
（2）先假設存在，然后對函數(shù)g（x）進行求導，再對a的值分情況討論函數(shù)g（x）在（0，e]上的單調性和最小值取得，可知當a=e²能夠保證當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e²x-lnx結合（2）中知F（x）的最小值為3，再令并求導，再由導函數(shù)在0＜x≤e大于等于0可判斷出函數(shù)ϕ（x）在（0，e]上單調遞增，從而可求得最大值也為3，即有成立，即成立．
解答：解：（1）在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有得，
得
（2）假設存在實數(shù)a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=
①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=35，（舍去），
②當時，g（x）在上單調遞減，在上單調遞增
∴，a=e²，滿足條件．
③當時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，（舍去），
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e²x-lnx，由（2）知，F(xiàn)（x）_min=3．
令，，
當0＜x≤e時，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上單調遞增
∴
∴，即＞（x+1）lnx．
點評：本題主要考查導數(shù)的運算和函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系，當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．