(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;
(2)若g(x)在點(3,g(3))處的切線與直線7x-18y+3=0平行,求函數(shù)g(x)的極值;
(3)若函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍.
(文)已知A、B、C是直線l上的三點,且滿足:-(y+ax2)+(x3+3x)=0.
(1)若f(x)在點(1,f(3))處的切線與直線2x+y+3=0平行,求函數(shù)y=f(x)的極值;
(2)若函數(shù)y=f(x)在(-2,)上單調(diào)遞減,求實數(shù)口的取值范圍.
答案:(理)(1)∵-[y+2f′(1)]+ln(x+1)=0,
∴=[y+2f′(1)]-ln(x+1)
由于A、B、C三點共線,即[y+2f′(1)]+[-ln(x+1)]=1
∴y=f(x)=ln(x+1)+1-2f′(1)
f′(x)=,得f′(1)=,故f(x)=ln(x+1).
(2)∵g(x)=+aln(x+1),
∴g′(x)=,
又x∈(-1,0)∪(0,+∞)
由g′(3)=,解得a=2
則g′(x)=
由g′(x)>0解得-1<x<或x>1,由g′(x)<0
解得<x<1
則g(x)的增區(qū)間是(-1,),(1,+∞)
g(x)的減區(qū)間是(,0),(0,1)
故g極大值(x)=g()=-2-ln2,
g極小值(x)=g(1)=1+21n2.
(3)由g′(x)=<0,得ax2-x-1<0,即a<在(0,2)上恒成立,
令u=,
則u在t=∈(,+∞)上單調(diào)遞增,
∴u的最小值趨向于()2,但取不到此值
∴a≤.
(文)∵-(y+ax2)+(x3+3x)=0,
∴=(y+ax2)-(x3+3x)
由于A、B、C三點共線,得y+ax2-x3=1,即y=x3-ax2+3x+1.
(1)∵f′(x)=3x2-2ax+3,則f′(1)=3x2-2ax+3=3-2a+3=-2,得a=4,
∴f′(x)=3x2-8x+3=3(x-3)(x),
由f′(x)>0解得x<或x>3;
由f′(x)<0解得<x<3.
則f(x)的增區(qū)間是(-∞,),(3,+∞);減區(qū)間是(,3)
故f極大值(x)=f()=,f極小值(x)=f(3)=1.
(2)∵f′(x)=3x2-2ax+3,
又f(x)在(-2,)上單調(diào)遞減,
∴f′(x)=3x2-2ax+3<0在(-2,)上恒成立f′(x)max<0.
又∵f′(x)是開口向上的拋物線,
∴只要,即,
解得a≤.
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