Question

【題目】(2017·深圳二模)在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司為推廣線下分店，計(jì)劃在S市的A區(qū)開設(shè)分店．為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格．記x表示在各區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，y表示這x個(gè)分店的年收入之和.

x(個(gè))	2	3	4	5	6
y(百萬元)	2.5	3	4	4.5	6

(1)該公司已經(jīng)過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤z(單位：百萬元)與x，y之間的關(guān)系為z＝y－0.05x2－1.4，請(qǐng)結(jié)合(1)中的線性回歸方程，估算該公司應(yīng)在A區(qū)開設(shè)多少個(gè)分店時(shí)，才能使A區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤最大？

參考公式：

Answer 1

【答案】（1）＝0.85x＋0.6．（2）開設(shè)4個(gè)分店

【解析】

試題

（1）由題中所給數(shù)據(jù)及公式可得線性回歸方程為．（2）設(shè)該區(qū)每個(gè)分店的平均利潤為t，由（1）可得t的預(yù)測(cè)值與x之間的關(guān)系為，

由基本不等式可得x＝4時(shí)有最大值，故可估算開設(shè)4個(gè)分店才能使A區(qū)的每個(gè)分店的平均年利潤最大．

試題解析：

(1)法一：由表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，

＝4，＝4， (xi－)2＝10， (xi－)(yi－)＝5，

∴＝＝＝0.85，

∴＝－＝4－4×0.85＝0.6，

∴線性回歸方程＝0.85x＋0.6．

法二：由表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，

＝4，＝4， xiyi＝88.5，x＝90，

∴＝＝＝0.85，

∴＝－＝4－4×0.85＝0.6，

∴線性回歸方程＝0.85x＋0.6．

(2)由題意，可知總年利潤z的預(yù)測(cè)值與x之間的關(guān)系為＝－0.05x2＋0.85x－0.8，

設(shè)該區(qū)每個(gè)分店的平均利潤為t，則，

∴t的預(yù)測(cè)值與x之間的關(guān)系為

＝－0.05x－＋0.85＝－0.01＋0.85≥－0.01×2＋0.85＝0.45，

當(dāng)且僅當(dāng)5x＝，即x＝4時(shí)，取到最大值，

∴該公司在A區(qū)開設(shè)4個(gè)分店時(shí)，才能使A區(qū)的每個(gè)分店的平均年利潤最大．