Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

，橢圓以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓的方程；
（Ⅱ）以該橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，判斷點(diǎn)C與該圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（I）先以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可知A，B的坐標(biāo)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)AB的距離求得c，把x=c代入橢圓方程，求得

b2

a

=

3

2

，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）以該橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，求出點(diǎn)C到圓心的距離，與a比較即可判斷點(diǎn)C與該圓的位置關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）如圖，以AB所在直線為x軸，
AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，⇒A（-1，0），B（1，0）．
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
令 x=c⇒y0=

b2

a

，
∴

C=1 b2 a = 3 2

⇒

a=2 b= 3

．
∴橢圓C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ） 點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離為：
|OC|=

1 4 +1

=

5

2

＜ 2=a
∴點(diǎn)C在圓內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，基本的運(yùn)算能力．