Question

直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，有曲線ξ：xy=η，（η，x＞0），過ξ與其對(duì)稱軸所在直線的交點(diǎn)作ξ的切線l，記l與x軸交點(diǎn)為P．若以O(shè)為圓心，以|

OP

|為半徑做圓O交ξ與A，B兩點(diǎn)，則△OAB是面積為

 

的

 

（形狀）三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：曲線與方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：曲線ξ：xy=η，（η，x＞0），即反比例函數(shù)y=

η

x

圖象第一象限的一支，ξ與其對(duì)稱軸所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

η

，

η

），利用導(dǎo)數(shù)法求出切線方程，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而聯(lián)立圓的參數(shù)方程和曲線ξ的方程，可判斷出△OAB是邊長(zhǎng)為2

η

的等邊三角形，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：曲線ξ：xy=η，（η，x＞0），即反比例函數(shù)y=

η

x

圖象第一象限的一支，
ξ與其對(duì)稱軸所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

η

，

η

），
∵y′=-

η

x2

，
故切線l的斜率k為y′|_x=

η

=-1，
故切線l的方程為：y-

η

=-（x-

η

），
即x+y-2

η

=0，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

η

，0），
則以O(shè)為圓心，以|

OP

|為半徑做圓O的參數(shù)方程為：

x=2 η cosθ y=2 η sinθ

，θ為銳角，
代入xy=η得：4sinθcosθ=1，
則2sin2θ=

1

2

，
則θ=15°，或θ=75°，
故△OAB是邊長(zhǎng)為2

η

的等邊三角形，
其面積為：

3

η
故答案為：

3

η，等邊

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是曲線與方程，導(dǎo)數(shù)法求過某點(diǎn)的切線方程，三角形形狀的判斷，難度中檔．