Question

（2012•道里區(qū)三模）已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=

3

AB，若四面體P-ABC的體積為

3

2

，則該球的體積為

4

3

π

．

Answer 1

分析：設(shè)該球的半徑為R，則AB=2R，2AC=

3

AB=

3

×2R，故AC=

3

R，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，由此能求出球的體積．

解答：解：設(shè)該球的半徑為R，
則AB=2R，2AC=

3

AB=

3

×2R，
∴AC=

3

R，
由于AB是球的直徑，
所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC²=AB²-AC²=R，
所以Rt△ABC面積S=

1

2

×BC×AC=

3

2R2

，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面體P-ABC的體積為

3

2

，
∴V_P-ABC=

1

3

×R×

3

2

×R²=

3

2

，
即

3

R³=9，R³=3

3

，
所以：球的體積V_球=

4

3

×πR³=

4

3

×π×3

3

=4

3

π．
故答案為：4

3

π

點評：本題考查四面體的外接球的體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．