Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點．已知曲線C上任意一點P（x，y）（其中x≥0）到定點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經過點F（1，0），求的值；
（3）若，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

解：（1）依題意知，動點P到定點F（1，0）的距離等于P到直線x=-1的距離，
∴曲線C是以原點為頂點，F（1，0）為焦點的拋物線
∵，∴p=2
∴曲線C方程是y²=4x
（2）當l平行于y軸時，其方程為x=1，由解得A（1，2）、B（1，-2）
此時
當l不平行于y軸時，設其斜率為k，則由得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁x₂=1，
∴==
（3）設l：x=ty+b代入拋物線y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b．
∵
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b．
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2，
∴直線l過定點（2，0）．
分析：（1）依題意知，動點P到定點F（1，0）的距離等于P到直線x=-1的距離，曲線C是以原點為頂點，F（1，0）為焦點的拋物線，由此可求曲線C方程；
（2）當l平行于y軸時，其方程為x=1，此時；當l不平行于y軸時，設l的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理及向量的數量積，可得的值；
（3）設l：x=ty+b代入拋物線y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0，利用韋達定理及，可得b的值，從而可得結論．
點評：本題考查拋物線的定義，考查向量的數量積，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是確定拋物線的方程，聯立方程，利用韋達定理求解．