Question

已知C₁：y=x²+2x和C₂：y=2lnx+a的公切線至少存在一條，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)與C₁的切點(diǎn)為（m，n），與C₂的切點(diǎn)為（s，t），分別求出導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率再由兩點(diǎn)的斜率公式得到2m+2=

2

s

=

n-t

m-s

=

m2+2m-(2lns+a)

m-s

，化簡(jiǎn)得，a-2ln（m+1）-m²-2m=-2m²-2m+2，即有a=2ln（m+1）-m²+2，求出右邊的最值即可．

解答： 解：設(shè)與C₁的切點(diǎn)為（m，n），與C₂的切點(diǎn)為（s，t），
則對(duì)于C₁，y′=2x+2，斜率為2m+2，
對(duì)于C₂，y′=

2

x

，斜率為

2

s

．
則由題意得，2m+2=

2

s

=

n-t

m-s

=

m2+2m-(2lns+a)

m-s

，
化簡(jiǎn)得，a-2ln（m+1）-m²-2m=-2m²-2m+2，
即有a=2ln（m+1）-m²+2，
令f（m）=2ln（m+1）-m²+2，（m＞-1），
則f′（m）=

2

m+1

-2m=0，得m=

5 -1

2

（負(fù)根舍去），
由于導(dǎo)數(shù)f′（m）在m=

5 -1

2

處附近左正右負(fù)，為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)，
且最大值為2ln

5 +1

2

+

5 +1

2

，
故a≤2ln

5 +1

2

+

5 +1

2

，
則a的取值范圍為（-∞，2ln

5 +1

2

+

5 +1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和求極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．