Question

13．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）在線段AD上是否存在點Q，使得直線CQ和平面BCP所成角θ的正弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$？若存在，請說明點Q位置；
若不存在，請說明不存在的理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中點O，連接PO，CO，AC；證明AB⊥平面PCO即可；
（Ⅱ）根據(jù)題意，以O為坐標原點，以OC，OB，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直坐標系O-xyz，
求出平面BCP的一個法向量，假設存在點Q滿足題意，求滿足條件的點Q坐標是否存在．

解答 解：（Ⅰ）證明：取AB的中點O，連接PO，CO，AC；…（1分）
∵AP=BP，∴PO⊥AB；…（2分）
又四邊形ABCD是菱形，且∠BCD=120°，
∴△ACB是等邊三角形，∴CO⊥AB；
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO；…（4分）
又PC?平面PCO，∴AB⊥PC；…（5分）

（Ⅱ）由AB=PC=2，$AP=BP=\sqrt{2}$，得PO=1，$OC=\sqrt{3}$，
∴OP²+OC²=PC²，OP⊥OC；…（6分）
以O為坐標原點，以OC，OB，OP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直坐標系O-xyz，
則B（0，1，0），$C（\sqrt{3}，0，0）$，P（0，0，1），$D（\sqrt{3}，-2，0）$，
∴$\overrightarrow{BC}=（\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{PC}=（\sqrt{3}，0，-1）$，$\overrightarrow{AD}=（\sqrt{3}，-1，0）$；…（7分）
設平面BCP的一個法向量為$\overrightarrow n=（1，b，c）$，則$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}-c=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}-b=0\end{array}\right.$，
∴$c=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$…（10分）
假設存在點Q滿足題意，設Q（a，b，0），
∵點Q在線段AD上，則設$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AD}$$（a，b+1，0）=λ（\sqrt{3}，-1，0）$，
解得$Q（\sqrt{3}λ，-1-λ，0）$，
∴$\overrightarrow{CQ}=（\sqrt{3}λ-\sqrt{3}，-1-λ，0）$；…（11分）
依題意$sinθ=cos＜\overrightarrow{CQ}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{CQ}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
代入解得$λ=\frac{1}{2}$；
∴存在點Q滿足題意，點Q為AD中點．   …（13分）

點評 本題考查了空間中的位置關系的應用問題，也考查了空間向量的應用問題，考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應用問題，是綜合性題目．