Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），直線y=-1與f（x）的圖象上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值和函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，由題意可得：$\frac{1}{2}$T=$\frac{1}{2}×$$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，從而解得ω的值，可求函數(shù)解析式．
（2）由f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，可得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合范圍0＜C＜π，可求范圍-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，可得C=$\frac{π}{3}$．由正弦定理可得：b=2a，利用余弦定理即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，
∴由于直線y=-1與f（x）的圖象上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{2}$，可得：$\frac{1}{2}$T=$\frac{1}{2}×$$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得：ω=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
（2）∵f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，可得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，可得：-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，故可得解得：2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：3=a²+4a²-2a×$2a×cos\frac{π}{3}$，
∴解得：a=1，b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用，由三角函數(shù)值求角時(shí)要注意分析角的范圍，屬于中檔題．