Question

已知：函數f（x）=a•lnx+bx²+x在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設函數y=

1

2

f（x）+

x(x-1)

2

的反函數為p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函數t（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）當x=1時，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx²+x，得b=-1．故f′(x)=

a

x

-2x+1，由切線方程知f′（1）=1，a=2，由此能求出f（x）的表達式．
（2）由f（x）=2lnx-x²+x，知y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

=lnx，故p（x）=e^x．由t（x）=e^x（1-x），x∈R，知t′（x）=e^x•（1-x）-e^x=-xe^x，由此能求出t（x）的最大值．

解答：解：（1）當x=1時，y=0，
代入f（x）=a•lnx+bx²+x，得b=-1．
∴f（x）=a•lnx-x²+x，
f′(x)=

a

x

-2x+1，
由切線方程知f′（1）=1，
∴a=2，
故f（x）=2lnx-x²+x．
（2）∵f（x）=2lnx-x²+x，
∴y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

=lnx，
∴p（x）=e^x．
∵t（x）=e^x（1-x），x∈R，
∴t′（x）=e^x•（1-x）-e^x=-xe^x，
∴當x∈（-∞，0）時，t′（x）＞0，
當x∈（0，+∞）時，t′（x）＜0，
∴t（x）的最大值為t（0）=1．

點評：本題考查函數表達式的求法和函數最大值的求解，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意導當數的靈活運用．