(本小題滿分12分)
如圖,PC⊥平面ABC,PM∥CB,∠ACB=120°,PM=AC=1,BC=2,異面直線AM與直線PC所成的角為60°.
(Ⅰ)求二面角M-AC-B大小的正切值;
(Ⅱ)求三棱錐P-MAC的體積.
(1)(2)
方法一:(Ⅰ)取BC的中點(diǎn)N,連結(jié)MN.
由已知,PMCN,則MNPC,所以MN⊥平面ABC.
過點(diǎn)N作NH⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于H,連結(jié)MH,
由三垂線定理知,AC⊥MH.
所以∠MHN為二面角M-AC-B的平面角. (3分)
連結(jié)AN,在△ACN中,由余弦定理,得.
由已知∠AMN=60°,在Rt△ANM中,. (6分)
在Rt△CHN中,.
在Rt△MNH中,.
故二面角M-AC-B的正切值是. (8分)
(Ⅱ)因?yàn)樗倪呅蜳CNM為正方形,MN⊥平面ABC,則
. (12分)
方法二:(Ⅰ)在平面ABC內(nèi),過點(diǎn)C作CB的垂線,
按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系. (1分)
設(shè)點(diǎn),由已知可得,點(diǎn),
,則.
因?yàn)橹本AM與直線PC所成的角為60°,則
,即.
解得z0=1,從而. (3分)
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為n,則,即.
取,則n.
又m=(0,0,1)為平面ABC的一個(gè)法向量,設(shè)向量m與n的夾角為θ,
則.
從而,. (7分)
顯然,二面角M-AC-B的平面角為銳角,故二面角M-AC-B的正切值是.(8分)
(Ⅱ)因?yàn)?i>a=(1,0,0)為平面PCM的一個(gè)法向量,,則點(diǎn)A到平面PCM的距離. (10分)
又PC=PM=1,則. (12分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤(rùn)與投資單位是萬(wàn)元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬(wàn)元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn),其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元.
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