Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為

2

的正方形，E為PC的中點，PB=PD．
（1）證明：BD⊥平面PAC．
（2）若PA=PC=2，求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接A、C，交BD于O，連接p、O，由已知得BD⊥AC，BD⊥PO，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）由已知得PO⊥AC，從而PO⊥平面ABCD，E到平面ABCD的距離是P到平面ABCD的距離的一半，由此能求出三棱錐E-BCD的體積．

解答： （1）證明：連接A、C，交BD于O，連接p、O，
∵O是正方形ABCD的對角線交點，
∴BD⊥AC，又∵PB=PD，O是BD的中點，∴BD⊥PO，
又∵PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
（2）解：∵PA=PC=2，∴△PAC是等腰三角形，
又∵O是AC的中點，∴PO⊥AC，
∴PO⊥平面ABCD．
∵AB=

2

，∴AO=

1

2

AC=

1

2

×

2

×AB=1，
∴PO=

PA2-AO2

=

4-1

=

3

，
又∵E是PC的中點，∴E到平面ABCD的距離是P到平面ABCD的距離的一半，
∴V_E-BCD=

1

3

×S△BCD×(

1

2

PO)=

1

3

×

1

2

×(

2

)2×(

1

2

×

3

)=

3

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．