Question

某工廠為某工地生產(chǎn)容器為的無蓋圓柱形容器，容器的底面半徑為r（米），而且制造底面的材料每平方米為30元，制造容器的材料每平方米為20元，設(shè)計(jì)時(shí)材料的厚度可忽略不計(jì)．
（1）制造容器的成本y（元）表示成r的函數(shù)；
（2）工地要求容器的底面半徑r∈[2，3]（米），問如何設(shè)計(jì)容器的尺寸，使其成本最低？，最低成本是多少？（精確到元）

Answer 1

解：（1）容器壁的高為h米，容器的體積為V米³．
由．
∴
∴y=30•πrr²+20•2πrh==
（2）由
當(dāng)且僅當(dāng)．即r=1時(shí)，取等號(hào)．
由1∉[2，3]；下面研究函數(shù)在r∉[2，3]上的單調(diào)性．
設(shè)2≤r₁＜r₂≤3，==，
∵2≤r₁＜r₂≤3，
∴，
∴Q（r₁）-Q（r₂）＜0，即Q（r）在[2，3]上為增函數(shù)．
當(dāng)r=2時(shí)，y取得最小值150π≈465（元）．
∴當(dāng)r=2米，米時(shí)，造價(jià)最低為465元．
分析：（1）由無蓋圓錐形容器容積為米³，我們?cè)O(shè)底面半徑為r，易求出底面面積，及側(cè)（容器壁）面積，然后再根據(jù)制造底面的材料每平方米30元，制造容器壁的材料每平方米20元，我們可得到容器的成本y（元）表示為r的函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中的容器的成本y（元）表示為r的函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，我們易求出成本最低值，及對(duì)應(yīng)的底面半徑r的值．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解�！�還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．