Question

下列說法：①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，+a+4]）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)b=2；②f（x）=既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；③已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，+∞]時(shí)，f（x）=x（1+x），則當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=x（1+|x|）；④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數(shù)．其中所有正確命題的序號(hào)是 ________．

Answer 1

①②③④
分析：①由f（x）x∈[2a-1，a+4]是偶函數(shù)，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由f（-x）=f（x）求解；
②將函數(shù)化簡得：f（x）=0，x∈R，結(jié)論可知．
③設(shè)x＜0，由-x＞0，代入x∈[0，+∞]時(shí)，f（x）=x（1+x），再由f（x）是奇函數(shù)求解．
④通過賦值法，求得相應(yīng)函數(shù)值，來尋求f（-x）與f（x）關(guān)系．
解答：①∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，
則2a-1+a+4=0得a=-1，又∵f（-x）=f（x）可解得b=2；故①正確．
②將函數(shù)化簡得：f（x）=0，x∈R，∴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；故②正確．
③設(shè)x＜0，由-x＞0，又∵當(dāng)x∈[0，+∞]時(shí)，f（x）=x（1+x）
∴f（-x）=-x（1-x），
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
f（x）=-f（-x）=x（1-x）
∴當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=x（1+|x|）；故③正確．
④令x=y=0，得f（0）=0
再令x=1，y=-1，得f（-1）=f（-1）-f（1）
∴f（1）=0
再令x=y=-1，得f（1）=-f（1）-f（-1）
∴f（-1）=0
再令y=-1
得f（-x）=xf（-1）-f（x）
則，f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)．故④正確．
故答案為：①②③④
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷及其應(yīng)用，涉及到定義，要注意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，涉及到求解析式，要注意求哪區(qū)間上的解析式，要在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)變量．