Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且滿足下列條件：
①對(duì)于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求證：f（x）≤4；
（Ⅲ）當(dāng)x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，…)時(shí)，試證明：f（x）＜3x+3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由①對(duì)于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3，得f（0）≥3，再由②得f（0）≤3，從而有f（0）=3．
（Ⅱ）解：先任取兩個(gè)變量，且界定大小，再由主條件按照單調(diào)性定義變形得到．
（Ⅲ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3(n∈N*)，通過(guò)這一模型，我們就可得到x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，)時(shí)，3x+3＞3×

1

3n

+3=

1

3n-1

+3≥f(

1

3n-1

)，得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，
由①對(duì)于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3，∴f（0）≥3（1分）
又由②得f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3；（2分）
∴f（0）=3．（3分）
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈[0，1]，且設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3，
因?yàn)閤₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）≥3，即f（x₂-x₁）-3≥0，
∴f（x₁）≤f（x₂）．（5分）
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤f（1）=4．（6分）

（Ⅲ）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3(n∈N*)
（1）當(dāng)n=1時(shí)，f(1)=f(

1

30

)=4=1+3=

1

30

+3（2），不等式成立；（7分）
（3）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，f(

1

3k-1

)≤

1

3k-1

+3(k∈N*)（4）
由f(

1

3k-1

)=f[

1

3k

+(

1

3k

+

1

3k

)]≥f(

1

3k

)+f(

1

3k

+

1

3k

)-3≥f(

1

3k

)+f(

1

3k

)+f(

1

3k

)-6
得3f(

1

3k

)≤f(

1

3k-1

)+6≤

1

3k-1

+9.
即f(

1

3k

)≤

1

3k

+3.
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立；（10分）
由（1）、（2）可知，不等式f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3對(duì)一切正整數(shù)都成立．（11分）
于是，當(dāng)x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，)時(shí)，3x+3＞3×

1

3n

+3=

1

3n-1

+3≥f(

1

3n-1

)，
所以，f(x)≤f(

1

3n-1

)≤3x+3.（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)用賦值法求函數(shù)值與用單調(diào)性定義來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性以及轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用．