Question

過點(diǎn)C（0，1）的橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A（A，0）、B（-a，0），過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．
（I）當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，寫出直線l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得線段CD的長；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫出直線AC與直線BD的方程，并解此方程組，求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可證明結(jié)論．
解答：解：（I）由已知得b=1，，解得a=2，
所以橢圓的方程為．
橢圓的右焦點(diǎn)為（，0），此時(shí)直線l的方程為y=-x+1，
代入橢圓方程化簡得7x²-8x=0．
解得x₁=0，x₂=，代入直線l的方程得y₁=1，y₂=-，
所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）
故|CD|=；
（Ⅱ）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0，k≠）
代入橢圓方程化簡得（4k²+1）x²+8kx=0，
解得x₁=0，x₂=，代入直線l的方程得y₁=1，y₂=，
所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
又直線AC的方程為，直線BD的方程為y=，
聯(lián)立解得，
因此Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-4k，2k+1），
又P點(diǎn)坐標(biāo)為（-，0），
∴=（-，0）•（-4k，2k+1）=4，
故為定值．
點(diǎn)評：此題是個(gè)難題．本題考查了、直線與橢圓的位置關(guān)系及弦長公式，和有關(guān)定值定點(diǎn)問題，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．其中問題（II）考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，