Question

設(shè)f(x)=log2

x+1

x-1

+lo

g

2

(x-1)+log2(p-x)（p＞1），問(wèn)f（x）是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0可得自變量x的取值范圍，即函數(shù)的定義域；將函數(shù)解析式化成log₂（x+1）（P-x）后，考慮（x+1）（P-x）這個(gè)二次函數(shù)的最大值就可得到原函數(shù)的最大值．

解答：解：解：∵函數(shù)f（x）中，自變量x滿足

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞0

⇒1＜x＜P，（P＞1）
故f（x）的定義域是（1，p）；
∵函數(shù)f（x）=log₂

x+1

x-1

×（x-1）×（P-x）=log₂（x+1）（P-x）
∵（x+1）（P-x）≤(

1+P

2

)2
∴f（x）≤log₂(

1+P

2

)2=2log₂（1+P）-2．
當(dāng)x=

1+P

2

時(shí)，取“=”．
故函數(shù)f（x）存在最大值，最大值為2log₂（p+1）-2．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和最值．解決對(duì)數(shù)函數(shù)中的最值問(wèn)題，一是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；二是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型，必須充分挖掘問(wèn)題中的隱含條件進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化．