Question

（用數(shù)學歸納法證明）當n＞1，n∈N時，求證：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

＞

9

10

．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：利用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=2時，證明不等式成立；（2）假設n=k（k≥2，k∈N^*）時命題成立，用上歸納假設，去證明則當n=k+1時，不等式也成立即可．

解答： 證明：（1）當n=2時，左邊=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

57

60

=

19

20

＞

9

10

，不等式成立；
（2）假設n=k（k≥2，k∈N^*）時命題成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

＞

9

10

成立，
則當n=k+1時，
左邊=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3(k+1)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

+（

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3(k+1)

-

1

k+1

）
＞

9

10

+（3×

1

3(k+1)

-

1

k+1

）
=

9

10

，
∴當n=k+1時不等式也成立，
綜上，由（1）（2）知，原不等式對?n≥2（n∈N^*）均成立．

點評：本題考查數(shù)學歸納法，考查推理證明的能力，假設n=k（k≥2，k∈N^*）時命題成立，去證明則當n=k+1時，用上歸納假設是關鍵，屬于中檔題．