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【題目】已知圓：，過且與圓相切的動圓圓心為.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）已知過點的兩直線和互相垂直，且直線交曲線于，兩點，直線交曲線于，兩點（，，，為不同的四個點），求四邊形的面積的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設動圓半徑為，判斷圓與圓內切，從而可得，，由橢圓定義可知，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為4的橢圓，根據橢圓的標準方程即可求解.

（2）分類討論若或的斜率不存在，求出四邊形的面積；若兩條直線的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為，根據點斜式求出、的方程，將直線方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式求出，由，利用基本不等式即可求解.

解：（1）設動圓半徑為，由于在圓內，故圓與圓內切，

則，，∴，

由橢圓定義可知，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為4的橢圓，

，，，

∴軌跡的方程為.

（2）若或的斜率不存在，四邊形的面積，

若兩條直線的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為，

則的方程為，的方程為，

聯立方程組，得，

由韋達定理得，，

，

設，，則，

同理可得，

∴

，

當且僅當，即時等號成立.

∵，因此當時，四邊形的面積取得最小值為.

另解一：

.

當即時等號成立.

另解二：也可以令換元求解.

練習冊系列答案
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【題目】2016年“一帶一路”沿線64個國家GDP之和約為12.0萬億美元，占全球GDP的；人口總數約為32.1億，占全球總人口的；對外貿易總額（進口額＋出口額）約為71885.6億美元，占全球貿易總額的.

2016年“一帶一路”沿線國家情況

人口（萬人）

GDP（億美元）

進口額（億美元）

出口額（億美元）

蒙古

301.4

116.5

38.7

45.0

東南亞11國

63852.5

25802.2

11267.2

11798.6

南亞8國

174499.0

29146.6

4724.1

3308.5

中亞5國

6946.7

2254.7

422.7

590.7

西亞、北非19國

43504.6

36467.5

9675.5

8850.7

東歐20國

32161.9

26352.1

9775.5

11388.4

關于“一帶一路”沿線國家2016年狀況，能夠從上述資料中推出的是（ ）

A.超過六成人口集中在南亞地區(qū)

B.東南亞和南亞國家GDP之和占全球的以上

C.平均每個南亞國家對外貿易額超過1000億美元

D.平均每個東歐國家的進口額高于平均每個西亞、北非國家的進口額

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（1）討論函數的單調性；

（2）證明：當時，函數有三個零點.

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（1）當時，求的單調區(qū)間；

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（1）在圖1中，畫出這個幾何圖形，并求這個幾何圖形的面積（不必說明畫法與理由）

（2）在圖2中，求證：D1B⊥平面DEF．

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A.B.C.D.18

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（1）求證:．

（2）若動弦AB不經過點，直線AB與準線l相交于點N，記MA，MB，MN的斜率分別為，，．問:是否存在常數λ，使得在弦AB運動時恒成立?若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

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A.B.C.D.

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