Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C關(guān)于軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)．是否存在定直線，使得l上任意點(diǎn)P與點(diǎn)M，Q，N所成直線的斜率，，成等差數(shù)列．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定直線，.

【解析】

（1）設(shè)拋物線為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得；

（2））假設(shè)存在直線使得直線上的任意點(diǎn)有成等差數(shù)列，設(shè)MN：交拋物線于、，代入拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，計(jì)算，，，并計(jì)算，代入并化簡(jiǎn)，由為恒成立的，可求得．

（1）由條件設(shè)拋物線為，而點(diǎn)在拋物線上，

從而有，故拋物線方程為

（2）假設(shè)存在直線使得直線上的任意點(diǎn)有成等差數(shù)列，

由條件知直線MN的斜率不等于0，

設(shè)MN：交拋物線于、，

由可得：

從而有

，，

若成等差數(shù)列，則

即

化簡(jiǎn)有

從而有，即

故存在定直線，

使得l上任意點(diǎn)P與點(diǎn)M，Q，N所成直線斜率成等差數(shù)列