Question

已知偶函數(shù)f（x）周期為2，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x，如果在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)F（x）=f（x）-kx-k-2（k∈R且k≠-2）有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是（　�。�

• A．(-

  3

  4

  ，0)
• B．（-1，0）
• C．(-

  1

  2

  ，0)
• D．(-

  2

  3

  ，0)

Answer 1

分析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=f（x）圖象和動(dòng)直線l：y=kx+k+2，觀察直線l可得：當(dāng)函數(shù)F（x）=f（x）-kx-k-2（k∈R且k≠-2）有4個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，直線l的活動(dòng)范圍應(yīng)該在圖中兩條虛線之間，從而通過求直線斜率得到k取值范圍．

解答：解：∵偶函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x，
∴當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)圖象與x∈[0，1]時(shí)關(guān)于y軸對(duì)稱，
故x∈[-1，0]時(shí)f（x）=-2x，
又∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，
∴將函數(shù)f（x）在[-1，1]上的圖象向左和向右平移2的整數(shù)倍個(gè)單位，可得f（x）在R上的圖象．
∵直線l：y=kx+k+2經(jīng)過定點(diǎn)（-1，2），斜率為k
∴直線l的圖象是經(jīng)過定點(diǎn)（-1，2）的動(dòng)直線．（如右圖）
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=f（x）和動(dòng)直線l：y=kx+k+2，當(dāng)它們有4個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，函數(shù)F（x）=f（x）-kx-k-2（k∈R且k≠-2）有4個(gè)不同的零點(diǎn)，∴直線l的活動(dòng)范圍應(yīng)該介于兩條虛線之間，而兩條虛線的斜率k₁=0，k₂=

2-0

-1-2

=-

2

3

，
故直線l的斜率k∈（-

2

3

，0）
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了函數(shù)的周期性、奇偶性和直線的斜率等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．