Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}（{a}^{x}+{a}^{-x}）$（a＞0）的圖象過點(diǎn)（2，$\frac{41}{9}$）．
（1）求證：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式．
（3）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)的定義證明即可；
（2）利用f（x）=$\frac{1}{2}（{a}^{x}+{a}^{-x}）$（a＞0）的圖象過點(diǎn)（2，$\frac{41}{9}$），建立方程，即可求函數(shù)f（x）的解析式．
（3）利用導(dǎo)數(shù)，證明其大于0，即可證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

解答 （1）證明：∵f（x）=$\frac{1}{2}（{a}^{x}+{a}^{-x}）$，
∴f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）解：∵f（x）=$\frac{1}{2}（{a}^{x}+{a}^{-x}）$（a＞0）的圖象過點(diǎn)（2，$\frac{41}{9}$）．
∴$\frac{1}{2}（{a}^{2}+{a}^{-2}）$=$\frac{41}{9}$，
∴a=3，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（3^x+3^-x）；
（3）證明：∵f（x）=$\frac{1}{2}$（3^x+3^-x），
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$（3^xln3-3^-xln3）=$\frac{ln3}{2}$•$\frac{{3}^{2x}-1}{{3}^{x}}$
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查函數(shù)解析式的確定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．