Question

在一個盒子中，放有標(biāo)號分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號分別為x，y，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x-2，x-y），記ξ=．
（I）求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知x、y可能的取值為1、2、3，求出變量ξ的可能取得的最大值，根據(jù)等可能事件的概率寫出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，求得概率；
（II）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，5，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式得到概率，從而可得分布列和期望．
解答：解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值為1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ≤5，且當(dāng)x=1，y=3或x=3，y=1時，ξ=5．
因此，隨機(jī)變量ξ的最大值為5．
∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3=9種，
∴P（ξ=5）=．
即隨機(jī)變量ξ的最大值為5，事件“ξ取得最大值”的概率為；
（Ⅱ）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，5．
∵ξ=0時，只有x=2，y=2這一種情況，
ξ=1時，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，
ξ=2時，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況．
∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=5）=．
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ		1	2	5
P

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+1×+2×+5×=2
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知識解決實(shí)際問題，屬于中檔題．